BLOG Professor Manoel: PARA QUEM GOSTA DE "PENSAR"
domingo, 27 de julho de 2014
GABARITO DAS LISTAS DE ATIVIDADES
Caros alunos, estou postando aqui o gabarito das duas listas de atividades sobre função do 1º grau:
segunda-feira, 17 de fevereiro de 2014
conceitos iniciais de geometria plana
Caros alunos,
estou colocando os primeiros conceitos de geometria plana através de um link Aqui.
Bons estudos!
Professor Manoel
estou colocando os primeiros conceitos de geometria plana através de um link Aqui.
Bons estudos!
Professor Manoel
segunda-feira, 10 de fevereiro de 2014
INICIANDO
Caros alunos,
Estamos iniciando mais um ano letivo, espero que o mesmo
seja bastante proveitoso para todos nos, e que no final, estejamos todos consciente
que fizemos a nossa parte da melhor maneira possível, por isso, a partir de hoje eu postarei algumas atividades neste
blog com o intuito de facilitar a sua aprendizagem pedagógica.
Valeu!
Professor Manoel
domingo, 6 de maio de 2012
DIA DA MATEMÁTICA
Sabia que dia 06 de maio é o dia da matemática, pois é,
goste ou não dela você a usa diariamente e em todo o momento.
Valeu!
Prof. Manoel
veja o vídeo:
sábado, 24 de março de 2012
sexta-feira, 9 de março de 2012
Dízimas periódicas
Uma dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição e chamados de período
Classificação de dízimas periódicas
As dizimas periódicas podem ser dividas em:
Simples: São aquelas em que o período se apresenta logo depois da vírgula.
Observe:
35/37 = 0,945945945... Período - 945945945... (três algarismo) Parte não periódica: 0
25/27 = 0,925925925... Período - 925925925... (três algarismo) Parte não periódica: 0
4/33 = 0,121212... Período - 121212... (dois algarismo) Parte não periódica: 0
Compostas: São consideradas dízimas periódicas compostas todas que entre o período e a vírgula existe uma parte que não seja periódica.
Neste caso esta parte da dízima periódica não é considerada e exclui-se então esta parte da parte periódica.
Exemplos:
0,7333... Período: 333... (um algarismo) Parte não periódica: 7
0,72444... Período: 444... (um algarismo) Parte não periódica: 72
0,51666... Período: 666... (um algarismo) Parte não periódica: 51
Formação de uma fração geratriz
Todos os números com uma expansão decimal infinita ou finita e periódica sempre são números racionais.
Neste caso, é fato que sempre existem frações capazes de representá-los. A estas frações chamamos de frações geratrizes.
Para encontrarmos a fração geratriz seguimos os seguintes passos.
1º passo – relacionar a dízima periódica com uma incógnita
x = 0,333333...
2º passo – multiplicar os dois lados da igualdade por um múltiplo de 10, de acordo com a quantidade de algarismos do período, por exemplo: um algarismo, multiplicar por 10 dois algarismos, multiplicar por 100 três algarismos, multiplicar por 1000, e assim sucessivamente.
x = 0,333333 ... * 10
10x = 3,3333 ...
3º passo – subtrair a segunda igualdade da primeira igualdade
10x = 3,3333
– x = 0,3333
9x = 3
x = 3/9
Exemplo 2
Encontrar a fração geratriz da seguinte dízima periódica: 0,232323... .
1º passo x = 0,232323....
2º passo x = 0,232323 ... * 100
100x = 23,23
3º passo
100x = 23,23
– x = 0,23
99x = 23
99x = 23
x = 23/99
Exemplo 3
Determinar a fração geratriz do número racional 0,562562...
1º passo x = 0,562562...
2º passo x = 0,562562... * 1000
1000x = 562,562
3º passo
1000x = 562,562
– x = 0,562
999x = 562
x = 562/999
Vamos praticar?
a) 0,555... h) 1,030303...
b) 2,363636... i) 0,003003003...
c) 1,999... j) 2,027027027...
d) 5,018018018... k) 0,0666...
e) 1,04727272... l) 2,06818181...
f) 1,32444... m) 1,291666...
g) 1,05333... n) 3,61666...
2) Calcule o valor das expressões abaixo :
a)
b) – 0,151515... – ( 0,333...)2 =
As dizimas periódicas podem ser dividas em:
Simples: São aquelas em que o período se apresenta logo depois da vírgula.
Observe:
35/37 = 0,945945945... Período - 945945945... (três algarismo) Parte não periódica: 0
25/27 = 0,925925925... Período - 925925925... (três algarismo) Parte não periódica: 0
4/33 = 0,121212... Período - 121212... (dois algarismo) Parte não periódica: 0
Compostas: São consideradas dízimas periódicas compostas todas que entre o período e a vírgula existe uma parte que não seja periódica.
Neste caso esta parte da dízima periódica não é considerada e exclui-se então esta parte da parte periódica.
Exemplos:
0,7333... Período: 333... (um algarismo) Parte não periódica: 7
0,72444... Período: 444... (um algarismo) Parte não periódica: 72
0,51666... Período: 666... (um algarismo) Parte não periódica: 51
Formação de uma fração geratriz
Todos os números com uma expansão decimal infinita ou finita e periódica sempre são números racionais.
Neste caso, é fato que sempre existem frações capazes de representá-los. A estas frações chamamos de frações geratrizes.
Para encontrarmos a fração geratriz seguimos os seguintes passos.
1º passo – relacionar a dízima periódica com uma incógnita
x = 0,333333...
2º passo – multiplicar os dois lados da igualdade por um múltiplo de 10, de acordo com a quantidade de algarismos do período, por exemplo: um algarismo, multiplicar por 10 dois algarismos, multiplicar por 100 três algarismos, multiplicar por 1000, e assim sucessivamente.
x = 0,333333 ... * 10
10x = 3,3333 ...
3º passo – subtrair a segunda igualdade da primeira igualdade
10x = 3,3333
– x = 0,3333
9x = 3
x = 3/9
Exemplo 2
Encontrar a fração geratriz da seguinte dízima periódica: 0,232323... .
1º passo x = 0,232323....
2º passo x = 0,232323 ... * 100
100x = 23,23
3º passo
100x = 23,23
– x = 0,23
99x = 23
99x = 23
x = 23/99
Exemplo 3
Determinar a fração geratriz do número racional 0,562562...
1º passo x = 0,562562...
2º passo x = 0,562562... * 1000
1000x = 562,562
3º passo
1000x = 562,562
– x = 0,562
999x = 562
x = 562/999
Vamos praticar?
Atividades
1) Calcule as geratrizes das dízimas periódicas :a) 0,555... h) 1,030303...
b) 2,363636... i) 0,003003003...
c) 1,999... j) 2,027027027...
d) 5,018018018... k) 0,0666...
e) 1,04727272... l) 2,06818181...
f) 1,32444... m) 1,291666...
g) 1,05333... n) 3,61666...
2) Calcule o valor das expressões abaixo :
a)
b) – 0,151515... – ( 0,333...)2 =
quarta-feira, 22 de fevereiro de 2012
ATIVIDADES DE REVISÃO
1)
Identifique os elementos:
a)
do conjunto A dos números inteiros maiores do que – 2;
b)
do conjunto B dos números inteiros menores do que +3;
c)
do conjunto C dos números inteiros que estão entre – 1 e +4;
d)
do conjunto D dos números inteiros maiores do que ou iguais a – 3.
2)
Responda às questões abaixo e indique uma operação que corresponda a cada
situação.
a)
Um elevador partiu do 3o andar do subsolo e subiu 5 andares. Em que
andar ele parou?
b)
Juliana depositou R$ 200,00 em sua conta e seu saldo passou a ser positivo de
R$ 150,00. Qual era o saldo de Juliana antes do deposito?
3)
Sonares especiais são usados para mapear o fundo do oceano. Quando um sonar
estava a – 47 m, ele indicou que o fundo do oceano estava a – 2000 m. Qual era
a distancia entre o sonar e o fundo do
oceano?
4)
Qual é a soma destes 99 números inteiros?
1
+ (-1) + 2 + (-2) + 3 + (-3) + ... +50
5)
Dê o resultado de cada uma das operações em Z:
6)
Calcule o resultado de cada uma das operações em Q:
sábado, 11 de fevereiro de 2012
sexta-feira, 16 de dezembro de 2011
Revisão de conteúdos para prova final
5) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os
níveis de audiência de alguns canais de televisão, entre 20 h e 21 h, durante uma determinada noite. Os
resultados obtidos estão representados no gráfico de barras a seguir:
I. O numero de residências atingidas nessa pesquisa foi,
aproximadamente, de:
a) 100 b) 150 c) 200 d) 250 e) 300
II. A porcentagem de entrevistados que declararam estar
assistindo à TvB é aproximadamente igual a:
a) 16%
b) 22% c) 20% d) 27% e) 30%
6) Um dado foi lançado 50 vezes e foram
registrados os seguintes resultados
5 4
6 1 2
5 3 1
3 3 4
4 1 5
5 6 1
2 5 1
3 4 5
1 1
6 6
2 1 1
4 4 4
3 4 3
2 2 2
3 6 6
3 2 4
2 6 6
2 1
Construa
uma tabela de distribuição de frequência sem intervalo de classe e determine:
a)
As frequências absoluta
e relativa.
b)
A média, a mediana e a
moda.
7) Em cada série de dados abaixo
calcule a media a moda e a mediana.
a) 10, 20, 40,
50, 70, 80
b) 82, 86, 88, 84, 91, 93
c) 73, 73, 75, 75, 75, 75, 75, 77, 77, 77, 79, 79, 81
quarta-feira, 9 de novembro de 2011
ESTATÍSTICA (resumo)
CONCEITO: é a ciência que se preocupa com a coleta, a organização, descrição (apresentação), análise e interpretação de dados experimentais e tem como objetivo fundamental o estudo de uma população.
Este estudo pode ser feito de duas maneiras:
• Investigando todos os elementos da população ou
• Por amostragem, ou seja, selecionando alguns elementos da população.
POPULAÇÃO: é o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma característica comum.
Divisão da população
- População Finita: apresenta um número limitado de elementos. É possível enumerar todos os elementos componentes.
Exemplo: Idade dos alunos do CEFA.
População: Todos os alunos do CEFA.
População Infinita: apresenta um número ilimitado de elementos. Não é possível enumerar todos os elementos componentes.
Exemplo:
Tipos de bactérias no corpo humano
População: Todas as bactérias existentes no corpo humano.
AMOSTRAGEM: é a coleta das informações de parte da população, chamada amostra mediante métodos adequados de seleção destas unidades.
AMOSTRA: é uma parcela representativa da população que É EXAMINADA com o propósito de tirarmos conclusões sobre essa população.
CENSO: É o exame completo de toda população.
. VARIÁVEL: é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno (ou observação, ou característica).
Para os fenômenos:
- sexo - dois resultados possíveis: masculino e feminino; (não pode ser medida: é um atributo)
- número de filhos tidos de um grupo de casais - resultados possíveis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., n;
- peso de pessoas adultas - resultados possíveis: 60 kg, 59,3 kg, 75,3 kg, 65,3 kg, ...; pode tomar um infinito número de valores num certo intervalo.
a) Variável Qualitativa: quando seus valores são expressos pôr atributos ou qualidade.
Exemplos:
. População: Estudantes do CEFA.
Variáveis: sexo, vocação, escolaridade, religião.
b) Variável Quantitativa: quando seus valores são expressos pôr números. Esses números podem ser obtidos pôr um processo de contagem ou medição.
Exemplos:
. População: Todos os moradores de Planaltina.
Variáveis: número de filhos tidos, altura, idade.
. População: População do bairro Arapoanga.
Variáveis: número de quartos, área da casa em m2, número de moradores da casa.
DEFINIÇÃO DO PROBLEMA: a primeira fase do trabalho estatístico consiste em uma definição ou formulação correta do problema a ser estudado e a seguir escolher a natureza dos dados.
Por exemplo: Qual o tipo de musica que os alunos do CEFA mais curtem?
PLANEJAMENTO: o problema está definido. Como resolvê-lo? Se através de amostra, esta deve ser significativa para que represente a população.
COLETA DOS DADOS: refere-se a obtenção, reunião e registro sistemático de dados, com o objetivo determinado.
APURAÇÃO (ARMAZENAMENTO) DOS DADOS: através da apuração, têm-se a oportunidade de condensar os dados, de modo a obter um conjunto compacto de números, o qual possibilita distinguir melhor o comportamento do fenômeno na sua totalidade.
ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS: nessa etapa, o interesse maior consiste em tirar conclusões que auxiliem o pesquisador a resolver seu problema. A análise dos dados estatísticos está ligada essencialmente ao cálculo de medidas, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno
REGRAS DE ARREDONDAMENTO: de acordo com as Normas de Apresentação Tabular - 3ª edição/1993 - da Fundação IBGE, o arredondamento é feito da seguinte maneira:
1. Se o número que vai ser arredondado for seguido de 0, 1, 2, 3 ou 4 ele deve ficar inalterado.
2. Se o número que vai ser arredondado for seguido de 5, 6, 7, 8 ou 9 ele deve ser acrescido de uma unidade.
GRÁFICOS EM CURVAS OU EM LINHAS: são usados para representar a evolução dos valores de uma variável num certo período.
GRÁFICOS EM COLUNAS OU BARRAS: é a representação de uma série estatística através de retângulos, dispostos em colunas (na vertical) ou em retângulos (na horizontal). Este tipo de gráfico representa praticamente qualquer série estatística.
GRÁFICO EM SETORES: é a representação gráfica de uma série estatística em um círculo de raio qualquer, pôr meio de setores com ângulos centrais proporcionais às ocorrências.
HISTOGRAMAS: são gráficos de superfícies utilizados para representar distribuições de frequências com dados agrupados em classes.
O histograma é composto por retângulos (denominados células), cada um deles representando um conjunto de valores próximos (as classes).
a. Dados brutos: são aqueles que não foram numericamente organizados, ou seja, estão na forma com que foram coletados.
Número de filhos de um grupo de 50 casais
2 3 0 2 1 1 1 3 2 5
6 1 1 4 0 1 5 6 0 2
1 4 1 3 1 7 6 2 0 1
3 1 3 5 7 1 3 1 1 0
3 0 4 1 2 2 1 2 3 2
b. Rol: é a organização dos dados brutos em ordem de grandeza crescente ou decrescente.
Número de filhos de um grupo de 50 casais
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7
As medidas de posição são chamadas de medidas de tendência central, devido à tendência de os dados observados se concentrarem em torno desses valores centrais que se localizam em torno do meio ou centro de uma distribuição.
As medidas (número-resumo) mais usadas para representar um conjunto de dados são a média, a moda e a mediana.
Média aritmética
Seja X uma variável que assume os valores x1, x2, x3 ,..., xn. A média aritmética simples de X, representada por x, é definida por:
x1 + x2 + x3 + ... + xn
x = -------------------------------
n
Exemplo: A nota média anual do aluno.
Moda (Mo)
Também chamada de norma, valor dominante ou valor típico.
Defini-se a moda como o valor que ocorre com maior frequência em conjunto de dados.
Exemplo: Sexo dos alunos – Turma A – Escola Z
Sexo Frequência
Masculino 40
Feminino 60
Total 100
A moda é sexo feminino porque tem maior frequência.
Moda – para dados não agrupados
Primeiramente os dados devem ser ordenados para, em seguida, observar o valor que tem maior frequência.
Exemplo: Calcular a moda dos seguintes conjuntos de dados:
1. X = (4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8) ® Mo = 6 (0 valor mais frequente)
Esse conjunto é unimodal, pois apresenta apenas uma moda.
2. Y = (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6) ® Mo = 2 e Mo = 4 (valores mais freqüentes)
Esse conjunto é bimodal, pois apresenta duas modas.
3. Z = (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5) ® Mo = 2, Mo = 3 e Mo = 4 (valores mais freqüentes)
Esse conjunto é plurimodal, pois apresenta mais de duas modas.
4. W = (1, 2, 3, 4, 5, 6) ® Esse conjunto é amodal porque não apresenta um valor predominante.
4. Mediana (Md)
É uma medida de posição cujo número divide um conjunto de dados em duas partes iguais. Por esse motivo, a mediana é considerada uma medida separatriz. Portanto, a mediana se localiza no centro de um conjunto de números ordenados segundo uma ordem de grandeza.
Mediana para dados não agrupados
a) O número de valores observados é impar
Exemplo: Considere o conjunto de dados:
X = (5, 2, 7, 10, 3, 4, 1)
1º) Colocar os valores em ordem crescente ou decrescente:
X = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 10)
Md = 4
b) O número de valores observados é par
Exemplo: Considere o conjunto de dados:
X = (4, 3, 9, 8, 7, 2, 10, 6)
1º) Colocar os valores em ordem crescente ou decrescente:
X = (2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10)
Md = 6,5
1) Em uma pesquisa realizada em uma escola, identificou-se os seguintes indicadores
a) idade
b) anos de estudo
c) ano de escolaridade
d) renda
e) sexo
f) local de estudo
g) conceito obtido na última prova de biologia
h) Quantidade de livros que possui
Das variáveis acima, quais são as quantitativas e quais são as qualitativas?
2) Considerando os conjuntos de dados:
a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6
b) 20, 9, 7, 2, 12, 7, 2, 15, 7
c) 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9
d) 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14
Calcule:
I. a média; II. a mediana; III. a moda.
3) As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2.
Determine:
a) a nota média;
b) a nota mediana;
c) a nota modal.
4) Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:
NOTAS 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº DE ALUNOS 1 3 6 10 13 8 5 3 1
Determine:
a) a nota média;
b) a nota mediana;
c) a nota modal.
Este estudo pode ser feito de duas maneiras:
• Investigando todos os elementos da população ou
• Por amostragem, ou seja, selecionando alguns elementos da população.
POPULAÇÃO: é o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma característica comum.
Divisão da população
- População Finita: apresenta um número limitado de elementos. É possível enumerar todos os elementos componentes.
Exemplo: Idade dos alunos do CEFA.
População: Todos os alunos do CEFA.
População Infinita: apresenta um número ilimitado de elementos. Não é possível enumerar todos os elementos componentes.
Exemplo:
Tipos de bactérias no corpo humano
População: Todas as bactérias existentes no corpo humano.
AMOSTRAGEM: é a coleta das informações de parte da população, chamada amostra mediante métodos adequados de seleção destas unidades.
AMOSTRA: é uma parcela representativa da população que É EXAMINADA com o propósito de tirarmos conclusões sobre essa população.
CENSO: É o exame completo de toda população.
. VARIÁVEL: é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno (ou observação, ou característica).
Para os fenômenos:
- sexo - dois resultados possíveis: masculino e feminino; (não pode ser medida: é um atributo)
- número de filhos tidos de um grupo de casais - resultados possíveis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., n;
- peso de pessoas adultas - resultados possíveis: 60 kg, 59,3 kg, 75,3 kg, 65,3 kg, ...; pode tomar um infinito número de valores num certo intervalo.
TIPOS DE VARIÁVEIS
a) Variável Qualitativa: quando seus valores são expressos pôr atributos ou qualidade.
Exemplos:
. População: Estudantes do CEFA.
Variáveis: sexo, vocação, escolaridade, religião.
b) Variável Quantitativa: quando seus valores são expressos pôr números. Esses números podem ser obtidos pôr um processo de contagem ou medição.
Exemplos:
. População: Todos os moradores de Planaltina.
Variáveis: número de filhos tidos, altura, idade.
. População: População do bairro Arapoanga.
Variáveis: número de quartos, área da casa em m2, número de moradores da casa.
FASES DO TRABALHO ESTATÍSTICO
DEFINIÇÃO DO PROBLEMA: a primeira fase do trabalho estatístico consiste em uma definição ou formulação correta do problema a ser estudado e a seguir escolher a natureza dos dados.
Por exemplo: Qual o tipo de musica que os alunos do CEFA mais curtem?
PLANEJAMENTO: o problema está definido. Como resolvê-lo? Se através de amostra, esta deve ser significativa para que represente a população.
COLETA DOS DADOS: refere-se a obtenção, reunião e registro sistemático de dados, com o objetivo determinado.
APURAÇÃO (ARMAZENAMENTO) DOS DADOS: através da apuração, têm-se a oportunidade de condensar os dados, de modo a obter um conjunto compacto de números, o qual possibilita distinguir melhor o comportamento do fenômeno na sua totalidade.
ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS: nessa etapa, o interesse maior consiste em tirar conclusões que auxiliem o pesquisador a resolver seu problema. A análise dos dados estatísticos está ligada essencialmente ao cálculo de medidas, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno
REGRAS DE ARREDONDAMENTO: de acordo com as Normas de Apresentação Tabular - 3ª edição/1993 - da Fundação IBGE, o arredondamento é feito da seguinte maneira:
1. Se o número que vai ser arredondado for seguido de 0, 1, 2, 3 ou 4 ele deve ficar inalterado.
2. Se o número que vai ser arredondado for seguido de 5, 6, 7, 8 ou 9 ele deve ser acrescido de uma unidade.
PRINCIPAIS TIPOS DE GRÁFICOS
GRÁFICOS EM CURVAS OU EM LINHAS: são usados para representar a evolução dos valores de uma variável num certo período.
GRÁFICOS EM COLUNAS OU BARRAS: é a representação de uma série estatística através de retângulos, dispostos em colunas (na vertical) ou em retângulos (na horizontal). Este tipo de gráfico representa praticamente qualquer série estatística.
GRÁFICO EM SETORES: é a representação gráfica de uma série estatística em um círculo de raio qualquer, pôr meio de setores com ângulos centrais proporcionais às ocorrências.
HISTOGRAMAS: são gráficos de superfícies utilizados para representar distribuições de frequências com dados agrupados em classes.
O histograma é composto por retângulos (denominados células), cada um deles representando um conjunto de valores próximos (as classes).
REPRESENTAÇÃO DOS DADOS (AMOSTRAIS OU POPULACIONAIS)
a. Dados brutos: são aqueles que não foram numericamente organizados, ou seja, estão na forma com que foram coletados.
Número de filhos de um grupo de 50 casais
2 3 0 2 1 1 1 3 2 5
6 1 1 4 0 1 5 6 0 2
1 4 1 3 1 7 6 2 0 1
3 1 3 5 7 1 3 1 1 0
3 0 4 1 2 2 1 2 3 2
b. Rol: é a organização dos dados brutos em ordem de grandeza crescente ou decrescente.
Número de filhos de um grupo de 50 casais
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7
MEDIDAS DE POSIÇAO (MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL)
As medidas de posição são chamadas de medidas de tendência central, devido à tendência de os dados observados se concentrarem em torno desses valores centrais que se localizam em torno do meio ou centro de uma distribuição.
As medidas (número-resumo) mais usadas para representar um conjunto de dados são a média, a moda e a mediana.
Média aritmética
Seja X uma variável que assume os valores x1, x2, x3 ,..., xn. A média aritmética simples de X, representada por x, é definida por:
x1 + x2 + x3 + ... + xn
x = -------------------------------
n
Exemplo: A nota média anual do aluno.
Moda (Mo)
Também chamada de norma, valor dominante ou valor típico.
Defini-se a moda como o valor que ocorre com maior frequência em conjunto de dados.
Exemplo: Sexo dos alunos – Turma A – Escola Z
Sexo Frequência
Masculino 40
Feminino 60
Total 100
A moda é sexo feminino porque tem maior frequência.
Moda – para dados não agrupados
Primeiramente os dados devem ser ordenados para, em seguida, observar o valor que tem maior frequência.
Exemplo: Calcular a moda dos seguintes conjuntos de dados:
1. X = (4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8) ® Mo = 6 (0 valor mais frequente)
Esse conjunto é unimodal, pois apresenta apenas uma moda.
2. Y = (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6) ® Mo = 2 e Mo = 4 (valores mais freqüentes)
Esse conjunto é bimodal, pois apresenta duas modas.
3. Z = (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5) ® Mo = 2, Mo = 3 e Mo = 4 (valores mais freqüentes)
Esse conjunto é plurimodal, pois apresenta mais de duas modas.
4. W = (1, 2, 3, 4, 5, 6) ® Esse conjunto é amodal porque não apresenta um valor predominante.
4. Mediana (Md)
É uma medida de posição cujo número divide um conjunto de dados em duas partes iguais. Por esse motivo, a mediana é considerada uma medida separatriz. Portanto, a mediana se localiza no centro de um conjunto de números ordenados segundo uma ordem de grandeza.
Mediana para dados não agrupados
a) O número de valores observados é impar
Exemplo: Considere o conjunto de dados:
X = (5, 2, 7, 10, 3, 4, 1)
1º) Colocar os valores em ordem crescente ou decrescente:
X = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 10)
Md = 4
b) O número de valores observados é par
Exemplo: Considere o conjunto de dados:
X = (4, 3, 9, 8, 7, 2, 10, 6)
1º) Colocar os valores em ordem crescente ou decrescente:
X = (2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10)
Md = 6,5
Exercícios
1) Em uma pesquisa realizada em uma escola, identificou-se os seguintes indicadores
a) idade
b) anos de estudo
c) ano de escolaridade
d) renda
e) sexo
f) local de estudo
g) conceito obtido na última prova de biologia
h) Quantidade de livros que possui
Das variáveis acima, quais são as quantitativas e quais são as qualitativas?
2) Considerando os conjuntos de dados:
a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6
b) 20, 9, 7, 2, 12, 7, 2, 15, 7
c) 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9
d) 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14
Calcule:
I. a média; II. a mediana; III. a moda.
3) As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2.
Determine:
a) a nota média;
b) a nota mediana;
c) a nota modal.
4) Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:
NOTAS 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº DE ALUNOS 1 3 6 10 13 8 5 3 1
Determine:
a) a nota média;
b) a nota mediana;
c) a nota modal.
ATIVIDADE DE APOIO
1) Nos 20 primeiros jogos de um campeonato brasileiro, o Flamengo marcou as seguintes quantidades de gols: 0, 1, 0, 4, 0, 0, 0, 1, 3, 2, 5, 3, 0, 3, 4, 5, 4, 0, 3, 0
a) agrupe esses dados numa tabela de frequência absoluta e relativa.
b) Faca o gráfico de linha.
c) Calcule a media, a mediana e a moda do número de gols nesses jogos.
2) As notas dos 40 alunos de uma classe da 8a. Série numa provinha de Matemática que valia 4 pontos são: 3, 2, 2, 1, 4, 1, 0, 4, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 1, 2, 2, 2, 0, 4, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 1, 4, 0, 2, 2, 4, 3, 0, 2, 2, 2, 3, 2, 2.
a) Faca a tabela de distribuição de frequência absoluta e relativa.
b) Represente as notas num gráfico.
c) Calcule a media, a mediana e a moda das notas dos alunos.
3) As notas de um candidato em suas provas de um concurso foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2. A nota média, a nota mediana e a nota modal desse aluno, são respectivamente:
a) 7,9; 7,8; 7,2
b) 7,2; 7,8; 7,9
c) 7,8; 7,8; 7,9
d) 7,2; 7,8; 7,9
e) 7,8; 7,9; 7,2
a) agrupe esses dados numa tabela de frequência absoluta e relativa.
b) Faca o gráfico de linha.
c) Calcule a media, a mediana e a moda do número de gols nesses jogos.
2) As notas dos 40 alunos de uma classe da 8a. Série numa provinha de Matemática que valia 4 pontos são: 3, 2, 2, 1, 4, 1, 0, 4, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 1, 2, 2, 2, 0, 4, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 1, 4, 0, 2, 2, 4, 3, 0, 2, 2, 2, 3, 2, 2.
a) Faca a tabela de distribuição de frequência absoluta e relativa.
b) Represente as notas num gráfico.
c) Calcule a media, a mediana e a moda das notas dos alunos.
3) As notas de um candidato em suas provas de um concurso foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2. A nota média, a nota mediana e a nota modal desse aluno, são respectivamente:
a) 7,9; 7,8; 7,2
b) 7,2; 7,8; 7,9
c) 7,8; 7,8; 7,9
d) 7,2; 7,8; 7,9
e) 7,8; 7,9; 7,2
quarta-feira, 19 de outubro de 2011
Atividade extra - razões trigonométricas
1- Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada em metros?
2- Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30°. Após percorrer 16 km em linha reta, qual a sua altura em relação ao solo?
3- Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15o com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida? (Dados sen 15o = 0,259 e tg 15o = 0,268.)
4- Um guarda florestal, postado numa torre de 20 m no topo de uma colina de 500 m de altura, vê o início de um incêndio numa direção que forma com a horizontal um ângulo de 17o. A que distância aproximada da colina está o fogo? (Use a tabela trigonométrica).
5- Um barco atravessa um rio de 80 m de largura, seguindo uma direção que forma 70o com a margem de partida. Qual a distância percorrida pelo barco? Quantos metros, em relação ao ponto de partida, ele se desloca rio abaixo?
6- Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura está e qual distância percorrida, quando alcançar a vertical que passa por um prédio A situado a 2 km do ponto de partida? (Dados: sen 15º = 0,26, cos 15º = 0,97 e tg 15º = 0,27).
7- Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 30°, como indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metros do solo, pode-se concluir que, dentre os valores adiante, o que MELHOR aproxima a altura do edifício, em metros, é:
Use os valores: sen 30° = 0,5; cos 30° = 0,866 e t g 30° = 0,577.
8- Uma escada rolante de 10 m de comprimento liga dois andares de uma loja e tem inclinação de 30°. Determine a altura h entre um andar e outro, em metros.
Use os valores: sen 30° = 0,5; cos 30° = 0,866 e t g 30° = 0,577
9- Um arame de 107m de comprimento é esticado do topo de um prédio até o solo, sendo amarrado em um ponto P. Sabe-se que o arame forma com o solo um ângulo de 25º. USE: sen 25º= 0,43; cos 25º = 0,91 e tg 25º = 0,44.
a) Calcule a altura do prédio.
b) Calcule a medida aproximada da distância, no solo, entre a base do prédio e o ponto P (Dê sua resposta com duas casas decimais).
10- Descubra a altura aproximada do prédio representado na figura abaixo. Use os valores: sen 30° = 0,5; cos 30° = 0,866 e t g 30° = 0,577
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