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sábado, 24 de março de 2012
sexta-feira, 9 de março de 2012
Dízimas periódicas
Uma dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição e chamados de período
Classificação de dízimas periódicas
As dizimas periódicas podem ser dividas em:
Simples: São aquelas em que o período se apresenta logo depois da vírgula.
Observe:
35/37 = 0,945945945... Período - 945945945... (três algarismo) Parte não periódica: 0
25/27 = 0,925925925... Período - 925925925... (três algarismo) Parte não periódica: 0
4/33 = 0,121212... Período - 121212... (dois algarismo) Parte não periódica: 0
Compostas: São consideradas dízimas periódicas compostas todas que entre o período e a vírgula existe uma parte que não seja periódica.
Neste caso esta parte da dízima periódica não é considerada e exclui-se então esta parte da parte periódica.
Exemplos:
0,7333... Período: 333... (um algarismo) Parte não periódica: 7
0,72444... Período: 444... (um algarismo) Parte não periódica: 72
0,51666... Período: 666... (um algarismo) Parte não periódica: 51
Formação de uma fração geratriz
Todos os números com uma expansão decimal infinita ou finita e periódica sempre são números racionais.
Neste caso, é fato que sempre existem frações capazes de representá-los. A estas frações chamamos de frações geratrizes.
Para encontrarmos a fração geratriz seguimos os seguintes passos.
1º passo – relacionar a dízima periódica com uma incógnita
x = 0,333333...
2º passo – multiplicar os dois lados da igualdade por um múltiplo de 10, de acordo com a quantidade de algarismos do período, por exemplo: um algarismo, multiplicar por 10 dois algarismos, multiplicar por 100 três algarismos, multiplicar por 1000, e assim sucessivamente.
x = 0,333333 ... * 10
10x = 3,3333 ...
3º passo – subtrair a segunda igualdade da primeira igualdade
10x = 3,3333
– x = 0,3333
9x = 3
x = 3/9
Exemplo 2
Encontrar a fração geratriz da seguinte dízima periódica: 0,232323... .
1º passo x = 0,232323....
2º passo x = 0,232323 ... * 100
100x = 23,23
3º passo
100x = 23,23
– x = 0,23
99x = 23
99x = 23
x = 23/99
Exemplo 3
Determinar a fração geratriz do número racional 0,562562...
1º passo x = 0,562562...
2º passo x = 0,562562... * 1000
1000x = 562,562
3º passo
1000x = 562,562
– x = 0,562
999x = 562
x = 562/999
Vamos praticar?
a) 0,555... h) 1,030303...
b) 2,363636... i) 0,003003003...
c) 1,999... j) 2,027027027...
d) 5,018018018... k) 0,0666...
e) 1,04727272... l) 2,06818181...
f) 1,32444... m) 1,291666...
g) 1,05333... n) 3,61666...
2) Calcule o valor das expressões abaixo :
a)
b) – 0,151515... – ( 0,333...)2 =
As dizimas periódicas podem ser dividas em:
Simples: São aquelas em que o período se apresenta logo depois da vírgula.
Observe:
35/37 = 0,945945945... Período - 945945945... (três algarismo) Parte não periódica: 0
25/27 = 0,925925925... Período - 925925925... (três algarismo) Parte não periódica: 0
4/33 = 0,121212... Período - 121212... (dois algarismo) Parte não periódica: 0
Compostas: São consideradas dízimas periódicas compostas todas que entre o período e a vírgula existe uma parte que não seja periódica.
Neste caso esta parte da dízima periódica não é considerada e exclui-se então esta parte da parte periódica.
Exemplos:
0,7333... Período: 333... (um algarismo) Parte não periódica: 7
0,72444... Período: 444... (um algarismo) Parte não periódica: 72
0,51666... Período: 666... (um algarismo) Parte não periódica: 51
Formação de uma fração geratriz
Todos os números com uma expansão decimal infinita ou finita e periódica sempre são números racionais.
Neste caso, é fato que sempre existem frações capazes de representá-los. A estas frações chamamos de frações geratrizes.
Para encontrarmos a fração geratriz seguimos os seguintes passos.
1º passo – relacionar a dízima periódica com uma incógnita
x = 0,333333...
2º passo – multiplicar os dois lados da igualdade por um múltiplo de 10, de acordo com a quantidade de algarismos do período, por exemplo: um algarismo, multiplicar por 10 dois algarismos, multiplicar por 100 três algarismos, multiplicar por 1000, e assim sucessivamente.
x = 0,333333 ... * 10
10x = 3,3333 ...
3º passo – subtrair a segunda igualdade da primeira igualdade
10x = 3,3333
– x = 0,3333
9x = 3
x = 3/9
Exemplo 2
Encontrar a fração geratriz da seguinte dízima periódica: 0,232323... .
1º passo x = 0,232323....
2º passo x = 0,232323 ... * 100
100x = 23,23
3º passo
100x = 23,23
– x = 0,23
99x = 23
99x = 23
x = 23/99
Exemplo 3
Determinar a fração geratriz do número racional 0,562562...
1º passo x = 0,562562...
2º passo x = 0,562562... * 1000
1000x = 562,562
3º passo
1000x = 562,562
– x = 0,562
999x = 562
x = 562/999
Vamos praticar?
Atividades
1) Calcule as geratrizes das dízimas periódicas :a) 0,555... h) 1,030303...
b) 2,363636... i) 0,003003003...
c) 1,999... j) 2,027027027...
d) 5,018018018... k) 0,0666...
e) 1,04727272... l) 2,06818181...
f) 1,32444... m) 1,291666...
g) 1,05333... n) 3,61666...
2) Calcule o valor das expressões abaixo :
a)
b) – 0,151515... – ( 0,333...)2 =
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